Question

求解三重积分，谢谢。

Answer 1

由于积分区域是个球体，根据对称性知道，原式可以写成8倍在第一卦限的积分：
原式=8∫∫∫（x+y+z）dV
然后用求坐标求就简单了：
x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ，dV=r^2*sinθdrdθdφ
其中，r从0→a，θ和φ都是从0→π/2
被积函数变成=8（rsinθcosφ+rsinθsinφ+rcosθ）r^2*sinθ
=8r³[sin²θ(cosφ+sinφ)+sinθcosθ]
这就变成了在上面给的各自的积分区间内的一重积分了，
对r³积分结果是1/4a^4
对cosφ+sinφ积分结果是2
对sin²θ积分的时候用降幂公式sin²θ=(1-cos2θ)/2，所以积分结果是π/4
对sinθcosθ积分的时候用二倍角公式，sinθcosθ=1/2sin2θ，积分结果是1/2
最后=8*1/4a^4*(π/4*2+1/2)=(π+1)a^4

追问

思路是清晰的，但答案不对，答案是3/2*(a∧4)*兀

追答

啊 最后一步 计算sinθcosθ的积分的时候结果是1/2没问题，但是还得对φ从0→π/2积分呢，所以最后结果是π/4，这样整个积分的最后结果是

=8*1/4 a^4*(π/4*2+π/4)=3/2 πa^4

唉，算到最后才发现，可以直接利用x,y,z在求坐标的对称性，直接就是
=24∫∫∫xdV=24*∫∫∫rsinθcosφ*r^2*sinθ drdθdφ=24*3π/16*a^4=3/2 πa^4