Question

二元函数f(x,y)是否可微？

二元函数f(x,y)满足：对x偏导lim【f'(x,y)-f'(0,0)】=0 x->0，
且对y偏导lim【f'(x,y)-f'(0,0)】=0 y->0；
是否能推导出二元函数f(x,y)可微？为什么？给出证明
更正
二元函数f(x,y)满足：对x偏导lim【f'(x,0)-f'(0,0)】=0 x->0，
且对y偏导lim【f'(0,y)-f'(0,0)】=0 y->0；
是否能推导出二元函数f(x,y)可微？为什么？给出证明

Answer 1

不能推出可微
对x偏导lim【f'(x,0)-f'(0,0)】=0 x->0 可知，
fx'(x,y)在(0,0)处作为一元函数连续(沿着X轴那根线上连续)
对y偏导lim【f'(0,y)-f'(0,0)】=0 y->0可知，
fy'(x,y)在(0,0)处作为一元函数连续(沿着y轴那根线上连续)
而可微的充分条件：fx'(x,y),fy'(x,y)在(0,0)处连续，f(x,y)在(0,0)处可微。
此中所说的连续是指作为二元函数连续(整片都连续)。
即已知条件不满足f(x,y)在(0,0)邻域内处处可偏导。

Answer 2

这和一维情况不同，一维情况可导和可微等价
但是在二维情况下，可微一定可导，但可导还要加上导函数连续方能确定可微

Answer 3

一维情况可导和可微等价