Question

已知函数f(x)=3-2log2^x,g(x)=log2^x.

已知函数f(x)=3-2log2^x,g(x)=log2^x.⑴如果x属于[1，4],求函数h(x)=(f(x)+1)g(x)的值域.⑵求函数M(x)=f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|/2的最大值.⑶如果对不等式f(x^2)f(根号x)>kg(x)中的任意x属于[1，4],不等式恒成立，求实数k的取值范围.

Answer 1

（1）h(x)=(3-2log2^x+1)log2^x
=(4-2log2^x)log2^x
=-2(log2^x)^2+4log2^x
=-2(log2^x-1)^2+2
因为1<=x<=4，所以0<=log2^x<=2
所以h(x)的值域为[0,2]
（2）M(x)=3-2log2^x+log2^x-|3-2log2^x-log2^x|/2
=3-log2^x-3/2*|1-log2^x|
当log2^x<=1时，M(x)=3-log2^x-3/2*(1-log2^x)=3/2+1/2*log2^x<=3/2+1/2=2
当log2^x>1时，M(x)=3-log2^x-3/2*(log2^x-1)=9/2-5/2*log2^x<9/2-5/2=2
所以M(x)最大值为2
（3）f(x^2)f(√x)>kg(x)
(3-4log2^x)(3-log2^x)>klog2^x
(log2^x)^2-(15+k)/4*log2^x+9/4>0
[log2^x-(15+k)/8]^2+9/4-(15+k)^2/64>0
因为1<=x<=4，所以0<=log2^x<=2
当0<=(15+k)/8<=2时，9/4-(15+k)^2/64>0
-15<=k<=1，-27<k<-3
所以-15<=k<-3
当(15+k)/8<0时，0^2-(15+k)/4*0+9/4>0
k<-15
当(15+k)/8>2时，2^2-(15+k)/4*2+9/4>0
k>1，k<-5/2
所以k不存在
综上所述，实数k的取值范围为k<-3