Question

已知定义域为R的函数f(x)=3x次方+b/3x次方+a是奇函数.(1)求ab的值

（2）讨论函数y=f(x)的单调性
（3）若对任意的t属于[-3，3],不等式f(2t平方+4t)+f(k-t平方）<0恒成立，求实数k的取值范围

Answer 1

方法一：
（1）由定义在R上的函数f(x)=
3x+b
3x+a
是奇函数得对一切x∈R，f（x）+f（-x）=0恒成立
即
3x+b
3x+a
+
3-x+b
3-x+a
=0 即
3x+b
3x+a
+
b•3x+1
1+a•3x
=0，
整理得（a+b）（3x）2+（ab+1）3x+a+b=0对任意x∈R恒成立，
故

a+b=0
ab+1=0

，解得

a=1
b=-1

或

a=-1
b=1

，
又因为函数的定义域为R，故a=1，b=-1．
方法二：由题意可知f（0）=0，即1+b=0，b=-1，此时f(x)=
3x-1
3x+a
，
又由f（1）+f（-1）=0得a=1，此时f(x)=
3x-1
3x+1
，经检验满足f（-x）=-f（x）符合题意．
（2）由f(x)=
3x-1
3x+1
得f′(x)=
3xln3(3x+1)-(3x-1)3xln3
(3x+1)2
=
2•3xln3
(3x+1)2
＞0恒成立，
故函数y=f（x）在R上为增函数．
（3）函数y=f（x）为奇函数且在R上为增函数
由f（2t2+4t）+f（k-t2）＜0得f（2t2+4t）＜-f（k-t2）2t2+4t＜t2-k（12分）-k＞t2+4t=（t+2）2-4对一切x∈[-3，3]恒成立
所以-k＞{（t+2）2-4}max，x∈[-3，3]，-k＞21，∴实数k的取值范围是k＜-21．

Answer 2

解:(1)令x=０，f(0)=0
a+b=-1
f(1)=f(-1)
7b+6a=-7
a=o b=-1
ab=o
(2)知道解析式就很好证了啊！用基本格式证就可以了
(3)f(k-t^2)<-f(2t^2+4t)
然后用单调性解
得k<21

Answer 3

（1）由奇函数的定义f(x)=f(-x)知，a=0，b=1满足条件。
（2）f(x)=3的x次方+1/3的x次方。求导就可以解了
第三可根据第二的解题代入，很容易的