Question

请帮忙看一下，下面这题当x趋于0时，这个等价关系如何运算的，请写出详细过程，谢谢

用罗必答法则，到这里我就算不下去了





Answer 1

您好！
等价无穷小，这里的k在原题中为1
所以原式等价于证明
In(x+√(1+x^2))/x=1
证明：
利用洛必达法则
1/(x+√(1+x^2))=√(1+x^2)-x
当x趋向于0时，√(1+x^2)-x=1
证毕

追问

您好！我是这样理解的，分母是x的k次幂，要证明这个等式，最好先求出k值,这里已经对它使用完了一次洛必达法则，试看能否重复用第二次洛必达法则，发现分子此时极限为1，且也并非无穷，故法则失效，由极限局部的保号性可知，分子k值必为0，故推出，分母K=1，=>分母为x，故ln(x+√(1+x^2))～x 等价，不知道这样理解是否正确合理，请指教，在您所给的证明中，您首先知道了这个k值的情况下进行证明的

追答

你的思想很好，但是这是你设的，属于循环论证。因为你设的本身可能是错的，在按照罗比达法则就没有意义了。所以正确做法是把左边除以x看是否为1，这是等价关系。