Question

已知函数f(x)=丨x²-1丨+x²+kx

若k=2,求函数f(x)零点

若关于x的方程f(x)=0在(0,2)上有两个不同的解x1,x2，求实数k的取值范围并证明1/x1+1/x2<4

Answer 1

(1)解不等式x²-1<0，得-1<x<1，所以当-1<x<1时，丨x²-1丨=1-x²，反之丨x²-1丨=x²-1。所以在[-1,1]上，f(x)=2x+1，在(-∞,-1)和(1,∞)上，f(x)=2x²+2x-1.
所以令f(x)=0，可得f(x)的零点为-1/2,-(1+根号3)/2.
(2)易知在[-1,1]上，f(x)=kx+1，在(-∞,-1)和(1,∞)上，f(x)=2x²+kx-1.
由f(x)=2x²+kx-1知其两根积为负，在(0，2)上其最多只有一解。但因f(x)=kx+1只有一解，所以f(x)=2x²+kx-1在[1，2)上必有一解，得1<=(-k+根号(k^2+8))/4<2,解之得-3.5<k<=-1.又由f(x)=kx+1在(0,1)上必有一解，即0<-(1/k)<1,得k>0或k<-1.
综合，得-3.5<k<1.

此时x1=-(1/k),x2=(-k+根号k^2+8)/4，1/x1+1/x2=-k+(k+根号(k^2+8))/8