Question

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,向量m=(-cosA/2,sinA/2),向量n=(cosA/2,sinA/2),且满足向量m

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,向量m=(-cosA/2,sinA/2),向量n=(cosA/2,sinA/2),且满足向量m×向量n=1/2.

(1)若√2a=√3b,求tanB.
(2)若a=2√3,△ABC的面积S=√3,求△ABC的周长.

Answer 1

由向量m*向量n=1/2得，cosA=1/2,则A=60度

(1)由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，又根号2*a=根号3*b,
解得：c=(1+根号3)/2
再代入计算得,cosB=(根号2)/2,则B=45度，故 tanB=1

(2)由三角形面积公式有，S=(1/2)bcsinA，即根号3=（1/2）bc*(根号3)/2,
化简有：bc=4
由余弦公式，cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc,
将A=60度，a=2*(根号3)，bc=4代入化简得：
b^2+c^2=16,则（b+c）^2=24,故b+c=2(根号6)
三角形的周长为2（根号3+根号6）

Answer 2

自D作DG⊥BC，DE⊥AB延长线于E
DF⊥AC延长线于F
因为BD、CD是角B、角C的外交平分线
容易证明RtΔDBE≌RtΔDBG
RtΔDGC≌RtΔDCF
从而得到DF=DG=DE
从而就证明了AD是角BAC的平分线
用的是性质
或者
又AD=AD
RtΔADE≌RtΔADF
∠DAE=∠DAF
得证