Question

已知函数y=x²-2x＋2,若0≦x≦a时，1≦y≦2。则a的取值范围

已知函数y=x²-2x＋2,若0≦x≦a时，1≦y≦2。则a的取值范围答案是1≦a≦2，为什么不是0≦a≦2

Answer 1

y=x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，
函数开口向上，对称轴x=1，
所以0≤x＜1时，函数单调递减，x＞1时，函数单调递增，
x=1时，函数有最小值y=1，
y=2时，解得x=0，x=2，
所以如果1≤y≤2，则0≤x≤2，
又因为0≤x≤a，所以1≤a≤2

追问

为什么0≦x≦2，就得出1≦a≦2呢

追答

首先讨论a在对称轴x=1左边，如果0≤x＜1＜a，则无法达到x=1，也就是最小值y=1，所以a一定在对称轴x=1右边，满足0≤x≤1≤a。
接下来，如果a在x=2右边，即x≤2＜a，就会造成y＞f（2）=2，所以a一定“不在”x=2右边，也就是0≤x≤1≤a≤2，
即所求的1≤a≤2.