Question

设函数fx=（x/a-1）∧2+（b/x-1）∧2 其中x属于（0，正无穷）

设t=x/a+b/x 当a=1 b=4 时 用t表示fx并求出最小值
设k＞0 当a=k∧2 b=（k+1）∧2时 若1≤fx≤9对任意x属于[a,b]成立 求k的取值范围

Answer 1

a=1,b=4,t=x+4/x>=2根号4=4
f(x)=(x/a-1)^2+(b/x-1)^2=(x)^2-2x+1+(4/x)^2-8/x+1
=(x+4/x)^2-2(x+4/x)-8+2
=t^2-2t-6

=(t-1)^2-7
由于t>=4,故在[4,+无穷)上函数单调增,所以最小值是f(4)=(4-1)^2-7=2

Answer 2

a=1,b=4,t=x+4/x>=2根号4=4 f(x)=(x/a-1)^2+(b/x-1)^2=(x)^2-2x+1+(4/x)^2-8/x+1 =(x+4/x)^2-2(x+4/x)-8+2 =t^2-2t-6 =(t-1)^2-7 由于t>=4,故在[4,+无穷)上函数单调增,所以最小值是f(4)=(4-1)^2-7=2