Question

命题“存在N，对于任意ε，当n＞N时，有|xn-a|＜ε”与“极限n→∞，xn=a”是否等价？

命题“存在N，对于任意ε，当n＞N时，有|xn-a|＜ε”与“极限n→∞，xn=a”是否等价？图中命题4。

Answer 1

• 对于任意给定的ε＞0,存在N属于N+,当n＞N时,使不等式xn-a＜ε成立——这句话...

• 答：好那我举个反例 xn=1-n，a=1 当n＞1时，xn-a＜1-1-1＜0＜1成立，但是1并不是xn当n趋近于∞的极限。事实上n趋近于∞时，这个xn的极限是-∞

Answer 2

此正非彼正，是指符号的正负
绝对值函数一定是正数结果，即| - 1 | = 1，| - 1/100 | = 1/100
| xn - a | < Cε，这里的Cε一定是正的
所以C正ε正，符合
若C负时，ε也一定负，但与前面给出的ε>0矛盾
所以C一定要取正数

Answer 3

两者等价。
……

Answer 4

任意伊普西隆＞0，说明伊普西隆可以无限小。|xn-a|小于一个无限小的数，只能是|xn-a|＝0，即xn=a。所以，命题实际上是说，存在N，n大于N时，an=a。而根据极限的定义，an是可以无限接近而不等于a的任意伊普西隆＞0，说明伊普西隆可以无限小。|xn-a|小于一个无限小的数，只能是|xn-a|＝0，即xn=a。所以，命题实际上是说，存在N，n大于N时，an=a。而根据极限的定义，an是可以无限接近而不等于a的