Question

f(x)=(ax^2+x+a)/e^x,当x属于[0,2]时，f(x)>=1/e^2恒成立，求a的取值范围.

f(x)=(ax^2+x+a)/e^x,当x属于[0,2]时，f(x)>=1/e^2恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

f(x)≧﹙1/e²﹚,
﹙ax²+x+a﹚/﹙e^x﹚≧﹙1/e²﹚. ﹙ax²+x+a﹚≧e^﹙x-2﹚ ,
设g(x)=e^﹙x-2﹚ , 则 x∈[0,2]时 g(x)的最大值为g(2)=1.
故 题目等价于 x∈[0,2]时﹙ax²+x+a﹚≧1.

故 分类讨论
（1）a=0 显然不满足。
（2） a>0， t（x）=ax²+x+a , 对称轴 x=﹣1／(2a)<0 ,
则x∈[0,2]时 t(x)最小值为t(0)=a 则 按题意 a≧1 .
(3) a<0 , t（x）=ax²+x+a , 对称轴 x=﹣1／(2a)>0 ,
﹣1／(2a)>2 即 a>(﹣1/4) 时 ,
则x∈[0,2]时 t(x)最小值为t(0)=a 则 按题意 a≧1. 故不存在。
﹣1／(2a)<2 即 a<(﹣1/4) 时 ,
则x∈[0,2]时,按题意 t(0)=a ≧1 ,同时 t(2) =5a+2≧1 即 a≧﹣1／5.
两者 要同时满足 故不存在。