Question

已知a b c是△abc的三边长,求证（a²＋b²-c²）²－4a²b²<0

Answer 1

（a²+b²-c²）²-4a²b²
=【（a²+b²-c²）+2ab】【（a²+b²-c²）-2ab】
=【a²+b²+2ab-c²】【a²+b²-2ab-c²】
三角形两边之和大于第三边
∵a+b＞c
∴（a+b）²＞c²
∴a²+b²+2ab-c²＞0
三角形两边之差小于第三边
∵a-b＜c
∴（a-b）²＜c²
∴a²+b²-2ab-c²＜0
∴【（a²+b²-c²）+2ab】【（a²+b²-c²）-2ab】＜0

Answer 2

(a²+b²-c²)²-4a²b²
=(a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)
=[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
三角形两边之和>第三边 a+b-c>0 a-b+c>0 a-b-c<0
(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)<0
(a²+b²-c²)²-4a²b²<0
(a²+b²-c²)²<4a²b²

Answer 3

C∈（0，π）——》cosC∈（-1，1）——》cos^2C∈[0，1）
由余弦定理：
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab，
——》cos^2C=(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2b^2<1
——》(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2<0。