Question

已知:如图在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD交EC于E,DF垂直BC，交AE于G，且DF=AD 求证：CD=DG+FC

是AE平分角BAD交DC于E

Answer 1

AB=DG+FC
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠C=180°
把△DFC沿射线DA方向平移，平移距离为AD，则DC与AB重合，记平移后的三角形为△ABH，则∠AHB=∠DFC=90°，∠ABH=∠C，AH=DF，HB=FC
∵∠ABH+∠ABC=∠C+∠ABC=180°，
∴F，B，H三点共线，
∴BF+HB=BF+FC，
从而FH=BC=AD=DF=AH．
∴四边形AHFD为正方形．
∴∠ADF=90°，AH⊥DF．
把△ADG绕点A顺时针旋转90°，则AD与AH重合，∠DAG=∠HAI，∠DGA=∠HIA，∠AHI=∠ADG=90°，
∴∠AHB+∠AHI=∠AHB+∠ADG=180°，
∴I，H，B三点共线．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAG=∠DAG，
∴∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠DAG=∠HAB+∠HAI．
即∠HAG=∠IAB．
∵AH∥DF，
∴∠HAG=∠DGA，
∴∠BIA=∠DGA=∠BAI．
∴AB=IB．
∴IB=IH+HB=DG+FC，
∴AB=DG+FC．

Answer 2

∵ABCD是平行四边形

∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD

延长FD截取，DH=FC，连接AH

∵AD∥BC，DF⊥BC

∴∠ADH=∠DFC=90°

∵AD=DF

∴△ADH≌△DFC(SAS)

∴AH=CD，∠CDF=∠HAD

∴∠CDF=90°-∠BCD=∠HAD

∵AE平分∠BAD

∴∠DAG=1/2∠BAD=1/2∠BCD

∴∠HAG=∠HAD+∠DAG=90°-∠BCD+1/2∠BCD=90°-1/2∠BCD

∵∠HGA=∠DGA=90°-∠DAG=90°-1/2∠BCD

∴∠HAG=∠HGA

∴AH=GH=DH+DG=DG+FC

∴CD=DG+FC