Question

已知函数f(x)=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x,x属于R

已知函数f(x)=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x,x属于R，求：
(1)求函数f(x)的最大值及其取得最大值的自变量x的集合

1、最小正周期是2π/2=π
2、增区间：2kπ－π/2≤2x＋π/4≤2kπ＋π/2
kπ－3π/8≤x≤kπ＋π/8
则增区间是：[kπ－3π/8，kπ＋π/8]，其中k∈Z
为什么周期是π，但是在算增区间的时候，是2kπ－π/2≤2x＋π/4≤2kπ＋π/2，而不是kπ－π/2≤2x＋π/4≤kπ＋π/2呢？

Answer 1

f(x)=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x
=(2cos^2x-1)+2sinxcosx+2
=cos2x+sin2x+2
=v2sin(2x+π/4)+2，
——》f(x)最大=v2+2，
此时，sin(2x+π/4)=1——》2x+π/4=2kπ＋π/2——》x=kπ＋π/8，k∈Z，
正弦函数的周期是2kπ，即（2x＋π/4）整体的周期是2kπ，所以，针对自变量x的最小正周期为π，
在计算正弦函数增区间的时候，也是将（2x＋π/4）作为整体考虑的，再折算出自变量的区间。

Answer 2

解：f（x）=sin2x+sin2x+3cos2x
=2sin2x+3cos2x,然后求导，得到f'(x)=4cos2x-6sin2x,另f‘（x）=0；
得到4cos2x=6sin2x;
即tan（2x）=2/3，所以2x=arctan2/3；x=（arctan2/3）/2，此时，函数的最大值为4sin（arctan2/3）

Answer 3

f(x)=(sinx)^2+sin2x+(cosx)^2+2(cosx)^2
=1+sin2x+cos2x+1
=√2sin(2x+π/4)+2
sin(2x+π/4)=1时，f(x)取最大值=√2+2
此时2x+π/4=2kπ+π/2
2x=2kπ+π/4
x=kπ+π/8,k是整数
√2>0,所以f(x)单调性是sin一样
所以递增是2kπ-π/2<2x+π/4<2kπ+π/2
2kπ-3π/4<2x<2kπ+π/4
kπ-3π/8<x<kπ+π/8
所以单调增区间(kπ-3π/8,kπ+π/8)