Question

一道初三数学二次函数题，求解，谢谢

Answer 1

解：
(1)抛物线方程y=(x-m)(x-1)，可知方程必过（m, 0）和（1, 0）两点。
∴由题知 |m-1|=2，解得m=3或-1。
又∵此抛物线交于y轴的正半轴，∴抛物线与y轴交点（0, m）满足：m>0
∴m=3，∴抛物线的解析式为y=x^2-4x+3
(2)该直线不可能与x轴垂直，故必有斜率，设为k（k≠0），则直线方程为y=kx-5/2.
∴E点坐标为（5/2k, 0）。
设M，N坐标分别为（x1, y1）和（x2, y2）。
y=x^2-4x+3 解得 x1=[4+k+√(k^2+8k-6)]/2 或x2=[4+k-√(k^2+8k-6)]/2
y=kx-5/2 y1=[4k+k^2-5+k√(k^2+8k-6)]/2 y2=[4k+k^2-5-k√(k^2+8k-6)]/2
∴若M和N关于E对称，则y1=-y2，得k^2+4k-5=0. 解得：k=1或-5
而若要M，N存在，则k^2+8k-6≥0，当k=-5时该式不成立，当k=1是该式成立。
∴k=1. 此时M，N，E坐标分别为（5/2+√3/2, √3/2），（5/2-√3/2, -√3/2）和（5/2, 0）符合条件。 ∴直线MN解析式为y=x-5/2.
(3)对于抛物线y=x^2-(m+1)x+m，其顶点坐标为[(m+1)/2,-(m-1) ^2/4]。
∴随着m变化，抛物线顶点轨迹构成曲线，其方程为y=-(x-1)^2。
∴题目等价于：求b值范围，使曲线y=-(x-1)^2与直线y=2x+b有两个交点，即方程x^2+2x+1+2b=0有两个实解。
∴Δ=4-4(1+2b)=-8b≥0，即b≤0。

仅供参考~