Question

若直线l与抛物线x2=-4y交于A,B两点,且AB中点为2,-2,则直线的方程是

Answer 1

答：设直线方程为y=kx+b，代入抛物线方程得：
x²+4kx+4b=0，根据韦达定理有：
x1+x2=-4k
x1*x2=4b

依据题意：
(x1+x2)/2=2
(y1+y2)/2=-2
所以：
x1+x2=-4k=4
y1+y2=k(x1+x2)+2b=4k+2b=-4
解得：k=-1，b=0

所以：直线方程为y=-x

Answer 2

由题意设A、B两点坐标为（x1，y1）和（x2，y2），其中x1≠x2
已知AB中点坐标为（2，-2）
则有：x1+x2=4，y1+y2=-4
又A、B两点均在抛物线x²=-4y，则可得：
x1²=-4y1，x2²=-4y2
两式相减可得：
x1²-x2²=-4(y1-y2)
(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1-y2)
4(x1-x2)=-4(y1-y2)
即得：(y1-y2)/(x1-x2)=-1
那么直线l的斜率k=-1
所以直线l的点斜式方程可写为：
y-(-2)=-1*(x-2)
即：x+y=0

Answer 3

设直线斜率为k,A点坐标(2+t,-2+kt),B点坐标(2-t,-2-kt)
A和B在抛物线上,代入抛物线方程
(2+t)^2=-4(-2+kt)
(2-t)^2=-4(-2-kt)
相减得: 8t=-8kt
k=-1
斜率为-1,通过点(2,-2)
直线方程为: y=-x

追问

坐标怎么设的啊

追答

中点横坐标是2, 一个多多少,另个一个就少多少.所以一个是2+t,另一个就是2-t.
斜率的几何意义就是:X增加1个,Y增加K个.所以横坐标加t,纵坐标加kt