Question

已知函数f(x)=xlnx,g(x)=lnx/x (1)对于x>0的任意实数，不等式g(x)<=ax-1<=f(x)恒成立，求实数a的取值

（2）数列{lnn}(nN)的前n项和为Sn,求证:(n-1)^2/2n<=Sn<=n(n-1)(n+1)/3

Answer 1

首先说这是个好题：
g(x)≤ax-1≤f(x)，即：lnx/x≤ax-1≤xlnx，即：lnx/x^2+1/x≤a≤lnx+1/x
该式对任意x>0恒成立，令：y1=lnx/x^2+1，y2=lnx+1/x
保证a≤y2min，且a≥y1max恒成立即可，前提是y1要有最大值，y2要有最小值
y1'=(x-2xlnx)/x^4-1/x^2=(1-2lnx)/x^3-1/x^2
解y1'=0得：2lnx=1-x，这本来是超越方程，没有解析解，但巧了
这个可以直接看出来：x=1，x<1时，y1'>0，x>1时，y1'<0
故y1在x=1处可以取得最大值：1
y2'=1/x-1/x^2，解y2'=0得：x=1，x<1时，y2'<0，x>1时，y2'>0
故y2在x=1处可以取得最小值：1
故a=1
第2题和第1题没什么关系吧，做2个太累了，都不好做，要不你单独再提问吧

并且：{lnn}(nN)表达不是很明确