Question

已知数列{an}满足a1=a2=1,a(n+2)=a(n+1)+an,Sn为数列{(an)/2^2}的前n项和.求证:Sn<2

Answer 1

a(n+2)=a(n+1)+an;
取：a(n+2)+ka(n+1)=b(a(n+1)+kan);
得：b-k=1,bk=1,
即：k=k1,b=b1或k=k2,b=b2;(这个很好解，笔算一下吧，不好打···貌似也没用到···)
故可得：
a(n+1)+k1a(n)=(b1^(n-1))(a2+k1a1);
a(n+1)+k2a(n)=(b2^(n-1))(a2+k2a1);
解得：a(n)=((b1^(n-1))(a2+k1a1)-(b2^(n-1))(a2+k2a1))/(k1-k2);
有：a1=a2=1,bk=1,b^2=b+1,b=1+k
得：a(n)=(b1^(n-1)+b1^(n-2)-b2^(n-1)-b2^(n-2))/(b1-b2)
=(b1^n-b2^n)/(b1-b2);
a(n)/2^n=((b1/2)^n-(b2/2)^n)/(b1-b2);
Sn(这是两个等比数列的和)
={(b1/2)[1-(b1/2)^n]/(1-b1/2)-(b2/2)[1-(b2/2)^n]/(1-b2/2)}/(b1-b2)
=8((b2/2)^(n+3)-(b1/2)^(n+3)+(b1-b2)/4)/(b1-b2)
=2-[(b1/2)^(n+3)-(b2/2)^(n+3)]/(b1-b2)
由于[(b1/2)^(n+3)-(b2/2)^(n+3)]/(b1-b2)是正的，
所以Sn<2.

Answer 2

这个数列是一个菲波那契数列啊，话说Sn怎么可能小于2呢。。。。

追问

我也不知道啊，老师抄的题目。

追答

Sn是等于（An/2）的平方还是什么

追问

Sn为数列{(an)/2^n}的前n项和

追答

对不起，做不出来了。。。

Answer 3

题目有误

追问

已知数列{an}满足a1=a2=1,a(n+2)=a(n+1)+an,Sn为数列{(an)/2^n}的前n项和.求证:Sn<2

打错了，应该是这样。

追答

{an}为斐波那契数列，求出通项后用放缩法可证。