Question

高一数列题 ！！已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an 1=1/2an*(4-an).(n属于N)

解析说，等式两边取对数 后转化为a(n+1)=pan+q，再用待定系数法求解 是什么意思？怎样取对数？？

Answer 1

本题需要先对an的取值范围进行判断，然后才能用取对数、用待定系数法，因此过程比较复杂。
解：
a0=1 0<a0<2，假设当n=k时，0<ak<2，则当n=k+1时，
a(k+1)=(1/2)ak(4-ak)=(1/2)(-ak²+4ak-4)+2=(-1/2)(ak-2)²+2
0<ak<2 -2<ak-2<0 0<(ak-2)²<4 -2<(-1/2)(ak-2)²<0
0<(-1/2)(ak-2)²+2<2 0<an<2，即数列{an}各项均在(0，2)上。
a(n+1)-2=(1/2)(-an²+4an-4)=(-1/2)(an-2)²

2-a(n+1)=(1/2)(2-an)²
log2[2-a(n+1)]=log2[(1/2)(2-an)²]=2log2(2-an) -1 /本题比较简单，就不用待定系数法了。
log2[2-a(n+1)]-1=2log2(2-an)-2=2[log2(2-an) -1]
{log2[2-a(n+1)]-1}/[log2(2-an)-1]=2，为定值。
log2(2-a0) -1=log2(2-1) -1=-1
数列{log2(2-an) -1}是以-1为首项，2为公比的等比数列。
log2(2-an) -1=(-1)×2ⁿ=-2ⁿ /注意此处，数列首项为a0，因此不是2^(n-1)，而是2ⁿ。
2-an=2^(-2ⁿ)=1/2^(2ⁿ)
an=2- 1/2^(2ⁿ)