Question

已知f(x)是定义在(-∞,0)U(0,+∞)的奇函数,当x＞0时，f(x)=lnx-ax,若函数f(x)在其定义域上有且仅有四个零

点，则a的范围 （要详细哦xiexie)

Answer 1

答：
奇函数在对称中心两侧的单调性是相同的
x>0时，f(x)=lnx-ax
当x<0时，-x>0，f(-x)=ln(-x)+ax=-f(x)
所以：x<0时，f(x)=-ln(-x)-ax

当x趋于0+时，f(x)趋于负无穷
当x趋于0-时，f(x)趋于正无穷

对f(x)求导：
x>0，f'(x)=1/x-a
x<0，f'(x)=-1/x-a

如果a<=0，则f'(x)>0，f(x)在对称中心两侧都是增函数，f(x)仅有2个零点，假设不成立；

如果a>0，令f'(x)=0，解得：
x1=1/a>0，x2=-1/a<0
当x<-1/a<0时，f'(x)<0，f(x)是减函数；

当-1/a<x<0时，f'(x)>0，f(x)是增函数。
所以：x=-1/a时，f(x)取得极小值。

f(x)存在4个零点，则对称中心两侧各有2个零点。
所以：f(x)的极小值必须小于0：
f(-1/a)=-ln(1/a)+1<0
解得：0<a<1/e