Question

一二次函数y＝2x平方，一点（2，3），求该点与抛物线上一点最短距离及

一二次函数y＝2x平方，一点（2，3），求该点与抛物线上一点最短距离及该点坐标 这种类似题型怎么做

Answer 1

（1）设抛物线上y2=2x上的点P（m，n）（m≥0），
则|PA|2=(m-
2
3
)2+n2=m2-
4
3
m+
4
9
+2m=m2+
2
3
m+
4
9
=(m+
1
3
)2+
1
3
，
∵m≥0，
∴当m=0时，|PA|2达到最小值
4
9
，
∴当点P的坐标为P（0，0）时，|PA|min=
2
3
；
（2）设P（x，y）为该抛物线上任一点，那么y2=2x，
则点P到直线的距离d=
|x-y+3|

2

=
|
y2
2
-y+3|

2

=
|(y-1)2+5|
2
2

=

2

4
[（y-1）2+5]≥
5
2

4
，当且仅当y=1时，取“=”．
此时点P（
1
2
，1）．
即抛物线上的点P的坐标为P（
1
2
，1）时，点P到直线x-y+3=0的距离最短，最小值为
5
2

4
．