Question

求解拉格朗日乘数法题目

方程组是f（x.y）=4x^2+y^2-2
限制条件是x^2-4x+y^2+3=0
求最大最小值。我解出来y是负的。不知道这是什么意思
谢谢

Answer 1

我给你发了私信你没回……
用拉格朗日乘子法的话，λ=-4或者12，此时(x=1, y=0)或(x=3, y=0)，代入方程得到f=2或者f=34，分别为最小值和最大值。

追问

不好意思啊。。我从来不看私信的。。我算出来λ=-1啊。。你能不能说一下详细的计算过程啊？或者列一下方程组就行了。我对照一下自己是哪里错了。麻烦了啊。或者你加我QQ也行，我是1033969965

追答

设原方程是f，约束条件是g，变量k

d(f+kg)/dx=8x+(2x-4)k-->x=(2k/(4+k))
d(f+kg)/dy=2y+2yk-->y=0
代入约束条件，
3+4k^2/(4+k)^2-8k/(4+k)=0
3(4+k)^2+4k^2-8k(4+k)=0
-k^2+8k+48=0
解得k=4 or k=-12。正负号和刚才的不一样，可能是我f+kg还是f-kg的时候弄反了……

追问

实在是太感谢了，我还有一个问题，为什么d(f+kg)/dy=2y+2yk这一步的时候得出y=0而不是得出k=-1呢？

追答

其实这步是联立三个微分方程，就是

8x+(2x-4)k=0

2y+2yk=0

还有对k求导得到的g：
x^2-4x+y^2+3=0

怎么解这个方程组就看习惯了。
如果是k=-1的话是没有实数解的。如果有的话也是个最小值或者最大值（这时候x=-2/3，你可以和另一个回答比较一下）。

追问

是的是的。。我就是这样做然后走进死胡同了。。哎。。悲剧。。太感谢你了，帮大忙了。以后再有不会做的数学题再请教大神你啊

追答

嗯嗯不用谢。加油啊！

Answer 2

由限制条件可得y^2=4x-x^2-3,代入方程中得到，f(x,y)=f(x)=4x^2+4x-x^2-3=3x^2+4x-3,此函数没有最大值，只有最小值

追问

谢谢啊，但是我要用拉格朗日乘数法来做的，能不能解释一下
用你这个方法解出来最小值的点x=-2/3,y=-19/3，但是把这个点带进限制条件就不成立了。这是为什么呢

追答

拉格朗日方法现在记得不是太清楚了，你可以查下书，对限制条件分别求偏导，在联立方程进行求解。下面仔细又看了下，限制条件可改写为（x-2）^2+y^2=1,可知1<=x<=3,
f(x,y)=f(x)=4x^2+4x-x^2-3=3x^2+4x-3,则可知在x=1时有最小值4，x=3时有最大值36