Question

已知抛物线C:y2=4x,直线l过抛物线的焦点F且与该抛物线交于A,B两点(点A在第一象限

已知抛物线C：y2=4x，直线l过抛物线的焦点F且与该抛物线交于A、B两点（点A在第一象限）
（1）若|AB|=10，求直线l的方程；
（2）过点A的抛物线的切线与直线x=-1交于点E，求证：EF⊥AB．

Answer 1

（1）F(1，0),
AB:x=my+1,
代入y^=4x得y^-4my-4=0,①
△=16m^+16,
|AB|=√[△(1+m^)]=4(1+m^)=10,m^=3/2,m=土√6/2，
直线l的方程是x=土y√6/2+1.②
（2）①变为y^干2y√6-4=0，点A在第一象限，
∴yA=√10土√6，
代入②，得A（4+√15，√10+√6），或（4-√15，√10-√6）。
对y^=4x求导得y'=2/y,
∴过点A的抛物线的切线斜率=2/（√10土√6）=（√10干√6）/2，
1）切线方程是y-(√10+√6）=（√10-√6）[x-(4+√15）]/2,交直线x=-1于点E(-1，√6），
EF的斜率=-√6/2，AB的斜率=2/√6，
∴EF⊥AB.
2）切线方程是y-(√10-√6）=（√10+√6）[x-(4-√15）]/2,留给您练习.