Question

已知函数f（x）=4lnx+ax∧2 -6x+b（a，b为常数），且x=2为f（x）的一个极值点。

已知函数f（x）=4lnx+ax∧2 -6x+b（a，b为常数），且x=2为f（x）的一个极值点。 求a的值 求函数f（x）的单调区间 若函数y=f（x）有三个不同零点，求实数b的取值范围
已知a＝1.f(x)单增区间（0，1），（2，＋∞）单减区间（1，2）。但是在第三问解答过程中如何比较5和8－4ln2的大小。如何证明在区间（0，1）内，和区间（2，＋∞）内分别有一个零点（即在这两个区间内怎么证明函数值是经过x轴，而不是无限趋近于x轴的）？谢谢。

Answer 1

f（x）=4lnx+ax∧2 -6x+b, x>0

f'（x）=4/x+2ax -6

f'(2)=0,即 4/2+2a*2 -6 =0

a=1

f'（x）=4/x+2x -6=0

2/x+x=3

x^2-3x+2=0

所以2极值点为：x=2或1

y=4lnx+x∧2 -6x大致图像如下：

0<x<1或x>2时，f(x)为增函数；1<=x<=2时，f(x)为减函数。

f(x)=y+b，即f(x)是y上下平移b个单位得到

x=1时春销，y=-5;  x=2时轮森散，y=4ln2-8

所以至少上移腊氏5个单位，最多上移8-4ln2个单位，f(x)有三个零点

即：5<b<8-4ln2

Answer 2

解：
函数f （x）的定义域为（0，+∞）
∵f′（x）=4/x +2ax-6，
∵x=2为f（x）的一个极值点
∴f'（2）=2+4a-6=0，
∴a=1

由(1)知
f（x）=4lnx+x²-6x+b
∴f′（羡迹模x）=4/x+2x-6=(2x²-6x+4)/x
=2(x-2)(x-1)/x
当x＞2或x＜1时，f′(x)>0，f(x)是增函数
当1<x<2时，f’(x)<0,f(x)是兄缓减函数
∴函数f(x)的单州运调递增区间为 (0,1)和 （2，+∞），
单调递减区间为 (1,2)

由(2)可知:函数f(x)的单调递增区间为 (0,1)和 （2，+∞）,单调递减区间为 (1,2)
且当x=1或x=2时，f′(x)=0
∴f(x)的极大值为f(1)=4ln1+1-6+b=b-5
f(x)的极小值为f(2)=4ln2+4-12+b=4ln2-8+b
∵y=f(x)有三个不同零点
∴f(1)=b-5＞0
f(2)=4ln2-8+b＜0
则5＜b＜8-4ln2

Answer 3

结论: a=1;

        f(x)的单增区间是(0,1),(2,+∞)    单减增区间是(1,2)；

        f(x)有三个不同零点时物搏差,实数b的取值范围是 8-4ln2<b<5

 

1. 由已知，x>0时,f'(x)=4/x+2ax-6，f'(2)=4a-4=0 得 a=1.

2. 由(1) f'(x)=4/x+2x-6=(2/x)(x-1)(x-2)  (x>0)

   得f(x)的单增区间是(0,1),(2,+∞)    单减增区间是(1,2)

3. 因x→0+时，f(x)→-∞,  x→+∞, 时，f(x)→+∞

   x=1,x=2分别为其极大值银山和极小值罩皮点。

   则b可取的充要条件是 f(1)*f(2)=(b-5)(b+4ln2-8)<0

   解得 8-4ln2<b<5。

    

   该方法书写简洁，解答较清晰。

   希望对你有点帮助！