Question

（1-x/1+x）^1/2的不定积分

（1-x/1+x）^1/2的不定积分（1-x/1+x）^1/2的不定积分

Answer 1

设x=cos2t.
√(1–x²)/(1+x)
=sin2t/(1+cos2t)
=2sintcost/(2cos²t)
=sint/cost
对t积分，等于-lncost
因x=cos2t=2cos²t-1 所以cost=√((x+1)/2)
原式积分=-ln√((x+1)/2)+C=-(1/2)ln((x+1)/2)+C

Answer 2

∫1/(1+e^x)² dx
=∫e^x/[e^x(1+e^x)²] dx
=∫1/[e^x(1+e^x)²] de^x
令e^x=u
=∫1/[u(1+u)²] du
=∫(1/u-1/(1+u)-1/(1+u)²] du
=ln|u|-ln|u+1|+1/(1+u)+C
=x-ln|e^x+1|+1/(e^x+1)+C

Answer 3

∫√[(1-x)/（1+x)]dx
=∫(1-x)/√(1-x^2)dx
=∫1/√(1-x^2)-∫x/√(1-x^2)dx
=arcsinx+1/2∫(1-x^2)^(-1/2)d(1-x^2)
=arcsinx+√(1-x^2)+c

追问

可以写在纸上，拍个照吗？

追答

身边没纸额

这是中间第二步到结果的样子

你要的图片

Answer 4

= ∫ d(x^2) / 2 / (1+ x^2)^1/2
= (1+ x^2)^1/2 + C

Answer 5

∫dx/[(1+x)(1+x²)]=(1/2)∫dx/(1+x)+(1/2)∫(1-x)/(1+x²)dx=(1/2)∫dx/(1+x)+(1/2)∫dx/(1+x²)-(1/2)∫x/(1+x²)dx=(1/2)∫d(1+x)/(1+x)+(1/2)∫dx/(1+x²)-(1/4)∫d(1+x²)/(1+x²)=(1/2)ln(1+x)+(1/2)arctanx-(1/4)ln(1+x²)+C=(1/2)arctanx+ln[√(1+x)/(1+x²)^¼]+C分式分裂过程看下面：_________________________________________________令1/[(1+x)(1+x²)]=A/(1+x)+(Bx+C)/(1+x²)1=A(1+x²)+(Bx+C)(1+x)1=A+Ax²+Bx+Bx²+Cx+C1=(A+B)x²+(B+C)x+(A+C){A+B=0→B=-A{B+C=0→C=-B=A{A+C=1→C=1-AC=1-A→A=1-A→2A=1→A=1/2=C，B=-1/2