Question

在一天24小时中，时分秒会重合多少次，都是什么时候，为什么？

Answer 1

显然，半夜0:00及中午12:00时三个针重合，24:00就是当天的0:00,三个针也重合.

现在的问题是：在0:00与12:00之间还有没有什么时刻时、分、秒三个针也能重合在一起？当然，如果在0:00与12:00之间的某个时刻（是上午的一个时刻）三个针能重合，则在12:00与24:00之间相应的时刻（是下午相应的时刻）三个针也能重合。

要把这个问题弄清楚，需要进行一些计算。

我们先算一下在0:00与12:00之间的哪些时刻时针与分针这两个针能重合在一起，而先不考虑秒针是否与它们重合。

显然，在1:00以前，时针与分针不会重合，因为时针与分针一起从0:00出发，时针走得慢，分针走得快，分针的角速度是时针角度的12倍。一小时以后，即1:00与2:00之间，时针与分针应该重合一次，因为在从1:00到2:00的一个小时当中，时针转过，而分针又转了一圈。从1:00算起，时针与分针都在作圆周运动。可以说开始时时针在前（它从一点的位置开始），分针在后（它从十二点的位置开始），但是由于分针一小时转，时针一小时只转，分针的角速度比时针快，所以分针能逐渐接近时针，与时针重合，然后再超过时针。到2:00时，时针才指向两点，分针又指向十二点了。可见，时针与分针同时从0:00开始运动之后，在1:05到1:10之间的某个时刻将实现第一次重合。

我们来计算一下这个时刻。

设这个时刻是1点x分，则从1:00到这个时刻，分针走过的角度是，时针走过的角度是，分针走过的角度是时针走过的角度的12倍，因而可得方程

解之可得

这说明，零点以后，在1点过分时,时针与分针第一次重合。

由于时针与分针各自都在作匀速运动，所以显然，以后每隔1小时零分钟，时针与分针都会重合一次。因而，在0:00与12:00之间，时针与分针重合的时刻有：

0点0分，1点分，2点分，

3点分，4点分，5点分，

6点分，7点分，8点分，

9点分，10点分，11点60分（即12点整）。

当然我们也可以按照上面的思路算出在0:00与12:00之间分针与秒针都在哪些时刻重合，然后看看这些时刻有没有与时、分两针重合的时刻相同的，凡相同的时刻就是三个针都重合的时刻。

但是如果为了简便，我们也可以不具体求出时针与分针在哪些时刻重合、分针与秒针中哪些时刻重合，再去挑选共同的时刻。

上面我们已经算出了，从0:00开始，每隔分钟时针与分针重合一次。我们可以类似地算出，从0:00开始，每隔多少秒钟分针与秒针重合一次。然后求出这两个时间间隔的最小公倍数，就知道每隔多少秒钟分针与秒针能重合一次？

下面我们算一下：从0:00开始，每隔多少秒钟分针与秒针能重合一次？

分针和秒针运行的情况与时针和分针运行的情况有些类似。我们知道，在零点之后，分针与秒针的第一次重合应该发在0点1分到0点2分之间。设这个时刻是0点1分y秒，利用秒针的角速度是分针角速度的60倍这个条件，考虑从0点1分到0点1分y秒分针与秒针分别转过的角度，可得方程

y=60(y-1)

解之可得

即每经过1分零秒，分针与秒针能重合一次。

下面我们求分钟与1分零秒的最小公倍数；

分=分=小时，

1分秒= 秒=秒= 小时。

二者的最小公倍数是12小时。

由此可知，一天当中，只是在0:00、12:00和24:00时，时针、分针、秒针才能都重合到一起