Question

设l为曲线c:y=lnx/x,在(1,0)处的切线

(1)求l的方程。
(2)证明：除切点（1，0）之外，曲线c在直线l的正下方。
第一问可不答。主要要第二问过程，及答案。

Answer 1

y=lnx/x y'=(1-lnx)/x² y'(1)=(1-ln1)/1²=1 l方程为 y=x-1
（2）就是要证明对所有x≠1 ，有 x-1-lnx/x>0
设g(x)=x(x-1)-lnx 有g(1)=0

g'(x)=2x-1-1/x g'(1)=0 g''(x)=2+1/x²>0 说明g'(x)单增
所以0<x<1时 g'(x)<0 有g(x)>g(1)=0
x>1时 g'(x)>0 有g(x)>g(1)=0
x≠1时g(x)>0 x(x-1)-lnx>0 x-1>lnx/x