高二椭圆数学题 70
椭圆x2/a2+y2/b2=1的两个焦点F1,F2的距离之比PF1:PF2=2:根号3,且∠PF1F2=a(0<a<π/2),则a的最大值为求过程~...
椭圆x2/a2+y2/b2=1的两个焦点F1,F2的距离之比PF1:PF2=2:根号3,且∠PF1F2=a(0<a<π/2),则a的最大值为
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设PF1=2m,PF2为根号3m,椭圆的焦距为2c,则由余弦定理得
3m²=4m²+4c²-2*2m*2ccosa
cosa=(m²+4c²)/8mc=1/8(m/c+4c/m)
由基本不等式
m/c+4c/m≥2根号(m/c*4c/m)=2*2=4
所以cosa≥1/2
因为0<a<π/2,y=cosx在(0,π/2)为减函数
所以当cosa最大即cosa=1/2时,a最小为π/3
3m²=4m²+4c²-2*2m*2ccosa
cosa=(m²+4c²)/8mc=1/8(m/c+4c/m)
由基本不等式
m/c+4c/m≥2根号(m/c*4c/m)=2*2=4
所以cosa≥1/2
因为0<a<π/2,y=cosx在(0,π/2)为减函数
所以当cosa最大即cosa=1/2时,a最小为π/3
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│PF1│+│PF2│=2a , 2a为长轴长
又│PF1│:│PF2│=2:根号3
∴│PF1│=4a/(2+根号3) ,│PF2│=2根号3a/(2+根号3)
2│PF1│·│F1F2│cos∠PF1F2=│PF1│^2+│F1F2│^2-│PF2│^2=(4a/(2+根号3) )^2+(2c)^2-(2根号3a/(2+根号3) )^2
∴ 2·4a/(2+根号3) ·2c·cos∠PF1F2=4c^2+4a^2/(2+根号3)^2
∴cos∠PF1F2=(4c^2+4a^2/(2+根号3)^2)/(16ac/(2+根号3))=(e^2+1/(2+根号3)^2)/(4e/(2+根号3))≥
又│PF1│:│PF2│=2:根号3
∴│PF1│=4a/(2+根号3) ,│PF2│=2根号3a/(2+根号3)
2│PF1│·│F1F2│cos∠PF1F2=│PF1│^2+│F1F2│^2-│PF2│^2=(4a/(2+根号3) )^2+(2c)^2-(2根号3a/(2+根号3) )^2
∴ 2·4a/(2+根号3) ·2c·cos∠PF1F2=4c^2+4a^2/(2+根号3)^2
∴cos∠PF1F2=(4c^2+4a^2/(2+根号3)^2)/(16ac/(2+根号3))=(e^2+1/(2+根号3)^2)/(4e/(2+根号3))≥
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