Question

【数学证明题】如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：

如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：
（1）AD⊥EF；
（2）当点D沿DA方向向点A运动时，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，此时（1）中结论是否仍然成立？

Answer 1

∵DA平分∠BAC

∴∠DAE=∠DAF

∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F

∴∠DEA=∠DFA

∵AD=AD

∴△DAE≌△DAF

∴AE=AF

   DE=DF

∴AD是EF的垂直平分线    

 

2)结论依然成立

Answer 2

①证：∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD=∠FAD
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BFD=∠CFD=90°
∴∠AED与∠AFD=90°
在△AED与△AFD中
∠EAD=∠FAD
AD=AD
∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD（AAS）
∴AE=AF
在△AEO与△AFO中
∠EAO=∠FAO
AO=AO
AE=AF
∴△AEO≌△AFO（SAS）
∴∠AOE=∠AOF=90°
∴AD⊥EF

②证：∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD
又∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED=∠AFD=90°
在△AED与△AFD中
∠BAD=∠CAD
∠AED=∠AFD
AD=AD
∴△AED≌△AFD（AAS）
∴∠EDO=∠FDO，ED=FD
在△EDO=△FOD中
DO=OD
∠EDO=∠FDO
ED=FD
∴△EDO≌△FOD（SAS）
∴∠1=∠2
∵∠1+∠2=180°
∴∠1=∠2=90°
∴∠3=∠4=90°
即AD⊥EF

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Answer 3

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