Question

锐角三角形ABC中，已知cosA=cosαsinβ，cosB=cosβsinγ，cosC=cosγsinα，求tanαtanβtanγ的值

Answer 1

你好！

根据题目条件可构造如下图形

其中OA、OB、OC两两垂直

由三余弦定理

cos∠BAC＝ cosα cos∠BAO ＝ cosα sinβ

cos∠ABC＝ cosβ cos∠CBO ＝ cosβ sinγ

cos∠ACB＝ cosγ cos∠ACO ＝ cosγ sinα

∴tanαtanβtanγ = OC/OA*OA/OB*OB/OC = 1

Answer 2

cos(α+β)=sin(α-β)
cosacosb-sinasinb=sinacosb-cosasinb
cosacosb+cosasinb=sinacosb+sinasinb
cosa(cosb+sinb)=sina(cosb+sinb)
cosa=sina
tanα=1