Question

已知函数f(x)=e的x次方-ax,a∈R

(1)求函数f（x）的单调区间
（2）当x∈[0，+∝﹚时，都有f(x)≥0成立，求实数a的取值范围

Answer 1

(1)
f'(x)=e^x-a
当a≤0时，f'(x)=e^x-a>0恒成立
f(x)单调递增区间为定义域(-∞,+∞)
当a>0时，f'(x)>0即e^x>a解得x>lna
∴f(x)单调递增区间为(lna,+∞)
单调递减区间为(-∞,lna)
(2)
当x∈[0，+∝﹚时，都有f(x)≥0成立
x=0时，f(0)=1>0成立
x>0时，f(x)≥0即e^x-ax≥0
即a≤e^/x
设g(x)=e^x/x,需a≤g(x)min
g'(x)=(xe^x-e^x)/x²=(x-1)e^x/x²
∴0<x<1时，g'(x)<0,x>1时，g'(x)>0
∴g(x)min=g(1)=e
∴a≤e
即实数a的取值范围是(-∞,e]

Answer 2

解：
f(x)=e^x-ax
f'(x)=e^x-a
1、令：f'(x)＞0，即：e^x-a＞0
有：e^x＞a
当a＞0时，解得：x＞lna
当a≤0时，恒有f'(x)＞0。
2、令：f'(x)＜0，即：e^x-a＜0
有：e^x＜a
当a＞0时，解得：x＜lna
当a≤0时，无解。
综上所述，有：
当a∈(0，∞)时：
f(x)的单调增区间是：x∈(lna，∞)；
f(x)的单调减区间是：x∈(-∞，lna)。
当a∈(-∞，0]时：
f(x)的单调增区间是：x∈(-∞，∞)。

Answer 3

解：（1）求导，f＇（x）=e^x﹣a
若a≤0，则f＇（x）＞0恒成立，∴f（x）在R上单调递增
若a＞0，令f＇（x）=0，得x=lna，∴（﹣∞，lna），f（x）减，（lna，﹢∞），f（x）增
（2）a≤0时，f（x）≥0显然恒成立
a＞0时，可用若干方法证明a≤e
方法一：分离变量：∵e^x﹣ax≥0（x＞0）∴a≤(e^x)/x，设g（x）=(e^x)/x
则g＇（x）=（x﹣1）·(e^x)/x²，∵e^x＞0，x²＞0，∴g（x）≥g（1）=e
∵a≤g（x）恒成立，∴a≤g（1）=e
方法二：直接化简：e^x﹣ax=e^x﹣e^(lna)·x=（e^(lna)）（e^(x-lna)﹣x），令x﹣lna=t
则f（x）=（e^(lna)）（e^t﹣t﹣lna）=a（e^t﹣t﹣lna）
∵a＞0，f（x）≥0，∴e^t﹣t﹣lna≥0
又由函数不等式e^t≥t+1知，lna≤1，∴a≤e
方法三：借助第一问：f（x）最小值为f（lna）=a﹣alna
∵f（x）≥0恒成立，∴a﹣alna≥0，∴lna≤1，∴a≤e

综上，a的取值范围是（﹣∞，e】

Answer 4