Question

设函数f(x)=x^2+ax+b,集合A={x|f(x)=x}.(1)若A={1,2},求f(x)的值域。

（2）若A={1}，且f(x)在x属于[m,+∞)时的最小值为2m+1，求实数m的值。

Answer 1

第一个问题：
依题意，显然有：方程x^2＋ax＋b＝x的两根为1、2，
即方程x^2＋（a－1）x＋b＝0的两根为1、2，∴由韦达定理，有：a－1＝－1－2、b＝1×2＝2，
∴a＝－2、b＝2。
∴f（x）＝x^2－2x＋2＝（x－1）^2＋1≧1。
∴f（x）的值域是：［1，＋∞）。

第二个问题：
依题意，显然有：方程x^2＋ax＋b＝x的两根都是1，
即方程x^2＋（a－1）x＋b＝0的两根都是1，∴由韦达定理，有：a－1＝－2、b＝1，
∴a＝－1、b＝1。
∴f（x）＝x^2－x＋1＝（x－1/2）^2＋3/4≧3/4。
∴当x＝1/2时，f（x）有最小值为3/4。
令2m＋1＝3/4，得：m＝－1/8＜1/2。
∴f（x）在［m，＋∞）上有最小值为（2m＋1）时，必须要：m＞1/2。
显然，当x＞1/2时，f（x）是增函数，∴f（m）＝2m＋1，∴m^2－m＋1＝2m＋1，
∴m^2－3m＝0，∴m＝3。