.试判断函数f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3) 的可微性和解析性。
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设f(z)=u+iv, 其中 u=x³-3xy, v=3yx² -y³
由可导条件需满足: 柯西-黎曼条件，即 ∂u/∂x=∂v/∂y且∂u/∂y=-∂v/∂x
而∂u/∂x=6x²+3y, ∂u/∂y=-3x,
∂v/∂x=6xy, ∂v/∂y=3x²-3y²
若要满足柯西-黎曼条件，需要 6x²+3y=3x²-3y²,-3x=-6xy
即x²+y²+y=0，y=1/2,
所以f(z)在直线x²+y²+y=0，y=1/2,上可导，
而由解析的定义，f(z)在整个复平面上处处不解析.
由可导条件需满足: 柯西-黎曼条件，即 ∂u/∂x=∂v/∂y且∂u/∂y=-∂v/∂x
而∂u/∂x=6x²+3y, ∂u/∂y=-3x,
∂v/∂x=6xy, ∂v/∂y=3x²-3y²
若要满足柯西-黎曼条件，需要 6x²+3y=3x²-3y²,-3x=-6xy
即x²+y²+y=0，y=1/2,
所以f(z)在直线x²+y²+y=0，y=1/2,上可导，
而由解析的定义，f(z)在整个复平面上处处不解析.
追问
那可微性呢
追答
可导即可微
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