Question

线性代数，二次型及其标准型～求详细过程

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Answer 1

掌握正交变换化二次型为标准形的方法，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值，所用的正交变换矩阵就是经过改造的二次型矩阵的特征向量。
具体步骤如下：
1、写出二次型矩阵A
2、求矩阵A的特征值（λ1，λ2，...，λn）
3、求矩阵A的特征向量（α1，α2，...，αn）
4、改造特征向量（单位化、Schmidt正交化）γ1，γ2，...，γn
5、构造正交矩阵P=（γ1，γ2，...，γn）
则经过坐标变换x=Py，得
f=xTAx=yTBy=λ1y1²+λ2y2²+...+λnyn²