Question

四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点

四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点
（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
（2）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN? 若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：

（1）作正方体ABCD-PNQM，并作相关连线，标注相关点，如上图。

∵AB//MQ且AB=MQ

∴ABQM是平行四边形

∴AM//BQ

∴cos∠NGQ即为所求
在正方形BCQN中可顺次得到

NQ=NB=BC=2BE=1

BE=1/2

NE=√(BE²+NB²=√5/2

BQ=√(NQ²+NB²)=√2

NG=2NE/3=√5/3

QG=2BQ/3=2√2/3

于是在△GNQ中使用余弦定理得

cos∠NGQ=(NG²+QG²-NQ²)/(2NG·QG)=√10/10

（2）存在S为AN中点，则

∵BE=EC且BS=SP

∴ES//CP

∵AP⊥面PNQM且MN在面PNQM上

∴MN⊥AP

又∵MN⊥PQ且AP∩PQ=P

∴MN⊥面APQC

又∵CP在面APQC上

∴MN⊥CP

同理AM⊥CP

又∵ES//CP

∴ES⊥MN且ES⊥AM

又∵MN∩AM=M

∴ES⊥面AMN

AS=AN/2=√2/2