已知函数f(x)=cosπx/(x*2+1)(x*2-4x+5),x∈R,证明函数f(x)的最大值和最小值
2013-10-14
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f(x)=cosπx/[(x²+1)(x²-4x+5)]
分母会随|x|的增大,无限增大,
当|x|-->∞时,f(x)-->0
∴ f(x)不是周期函数
2
f(x)=cosπx/{(x²+1)[(x-2)²+1]}
f(2-x)=cos(2π-πx)/{[(2-x)²+1](x²+1)}=f(x)
∴f(x)图像关于x=1的对称
而且(x²+1)[(x-2)²+1]
=x²(x-2)²+x²+(x-2)²+1
≥x²(x-2)²+2x(2-x)+1=(x+2-x)²=4
当x=2-x,x=1时,取等号
即当x=1时,f(x)分母取得最小值4,
而当x=1时,分子cosπx取得最小值-1,
∴x=1时,f(x)取得最小值 -1/4
当x=0,或x=2时,f(x)分子cosπx=1最大为1
此时,f(x)取得最大值,
以后当|x|-->+∞时,分母无限增大,f(x)无限减小
∴f(x)既有最大值又有最小值
分母会随|x|的增大,无限增大,
当|x|-->∞时,f(x)-->0
∴ f(x)不是周期函数
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f(x)=cosπx/{(x²+1)[(x-2)²+1]}
f(2-x)=cos(2π-πx)/{[(2-x)²+1](x²+1)}=f(x)
∴f(x)图像关于x=1的对称
而且(x²+1)[(x-2)²+1]
=x²(x-2)²+x²+(x-2)²+1
≥x²(x-2)²+2x(2-x)+1=(x+2-x)²=4
当x=2-x,x=1时,取等号
即当x=1时,f(x)分母取得最小值4,
而当x=1时,分子cosπx取得最小值-1,
∴x=1时,f(x)取得最小值 -1/4
当x=0,或x=2时,f(x)分子cosπx=1最大为1
此时,f(x)取得最大值,
以后当|x|-->+∞时,分母无限增大,f(x)无限减小
∴f(x)既有最大值又有最小值
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2013-06-11
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已知函数f(x)=cosπx/(x*2+1)(x*2-4x+5),x∈R,求函数f(x)的最大值和最小值
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