Question

已知函数f(x)= x^3-(k^2-k+1)x^2+5x-2,g(x)=k^2x^2+kx+1,其中k∈R.

已知函数f(x)= x^3-(k^2-k+1)x^2+5x-2,g(x)=k^2x^2+kx+1,其中k∈R.
（1）设函数p(x)=f(x)+g(x).若p(x)在区间（0,3）上不单调，求k的取值范围；
（2）设函数q(x)={g(x),x≥0 ;f(x)<0}(分段函数，符号打不出来)，是否存在k,对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2(x2≠x1),使得q’ (x2)= q’(x1)成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）p（x）=f（x）+g（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）x-1，
P '（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5）
因为p（x）在（0，3）上不单调，
所以p'（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，
由p'（x）=0，得k（2x+1）=-（3x2-2x+5）
即
令t=2x+1，有t∈（1，7），记
则h（t）在（1，3]上单调递减，在[3，7）上单调递增，
所以，h（t）∈[6，10）
于是
得k∈（-5，-2]
而当k=-2时，p'（x）=0在（0，3）上有两个相等的实根x=1，
故舍去，所以k∈（-5，-2）。
（2）由题意，得当x<0时，
q'（x）=f'（x）=3x2-2（k2-k+1）x+5
当x>0时，g'（x）=g'（x）=2k2x+k．
因为当k=0时不合题意，所以k≠0
下面讨论k≠0的情形
记A={g'（x）|x>0}，B={f'（x）|x<0}
则A=（k，+∞），B=（5，+∞）
（i）当x1>0时，q'（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以要使q'（x2）=q'（x1）成立，只能x2<0，且AB，因此k≥5；
（ii）当x1<0时，q'（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以要使q'（x2）=q'（x1）成立，只能x2>0，且BA，因此k≤5
综合（i）（ii），得k=5。
当k=5时，有A=B
则
即，使得q'（x2）=q'（x1）成立
因为q'（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x2是唯一的。
同理，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得q'（x2） =q'（x1）成立
所以k=5满足题意。

Answer 2

（1）P(X)=f（x）+g（x）=x�0�6+（k-1）x�0�5+（k+5）x-1 p�0�7（x）=3x�0�5+2(k-1)x+(k+5) 对 p�0�7（x）有对称抽为-b/2a=-2(k-1)/6=-(k-1)/3 Δ≤0时函数单调故不成立 Δ=4（k-1)�0�5-12(k+5)=4(k�0�5-5k-14)�6�0(k-7)(k+2)≤0 得-2≤k≤7时不成立 Δ>0时三种情况 ①对称轴在0到3之间 对称抽-（k-1）/3∈（0，3）�6�0k∈(-8,1) p�0�7（0）=k+5 p�0�7（3）=7k+26 k+5>0或7k+26>0�6�0k>-5或k>-26/7�6�0k>-5 故得k∈（-5,1） ②对称轴小于等于0�6�0-（k-1）/3≤0�6�0k≥1 此时p�0�7（0)<0且p�0�7（3）>0�6�0k<-5且k>-26/7故不成立 ③对称轴>3时�6�0-（k-1）≥9 �6�0k≤-8 p�0�7（0)>0且p�0�7（3）<0�6�0-5<k<-26/7也不成立 综上k∈（-5，-2）第二题稍后团队为你解答

Answer 3

不会！！请问那个g(x)方程有问题吗，是k的2x平方的次方，还是2k乘以x的平方