Question

很难的几何题，急求答案和方法！

如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边ΔACD和等边ΔBCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，AE、BD交于点Q，连接MN。
（1）求证：AE=BD;
（2）求∠DQA的度数；
（3）求证：MN∥AB.

Answer 1

(1)证明：在∆ACE和∆BCD中，AC=DC, CE=CB,
∠ACE=60˚+∠DCE=∠DCB, 所以此二∆全等，得AE=BD

(2)解:由以上所得二∆全等，所以∠BDC=∠EAC, 得A,D,Q,C四点共圆，所以∠DQA=∠DCA=60˚

(3)证明：∠MQN=180˚-60˚=120˚,∠MCN=180˚-∠DCA-∠ECB=180˚-60˚-60˚=60˚

∠MCN+∠MQN=180˚, 所以M,C,N,Q四点共圆，∠CNM=∠CQA

连接QC, 因为A,D,Q,C四点共圆，∠CQA=∠CDA=60˚, 所以∠CNM=∠CNM=60˚=∠NCB(内错角相等)

所以MN∥AB

Answer 2

（1）∵△ADC与△CEB为等边三角形 ∴EC=BC CD=AC
∵∠ACD=∠ECB=60度
∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE 即∠ACE=∠DCB
∴△DCB≌△ACE ∴AE=BD
(2) ∵△DCB≌△ACE ∴∠DQA=∠EAB+∠DBA
∴∠BDC=∠EAB
∴∠DQA=∠BDC+∠DBA=∠DCA=60度
（3）∵∠MCE=∠ECB=60度 CE=BC ∠MEC=∠NBC
∴△MCE≌△NCB(ASA) ∴MC=NC ∴∠MCN=60度
∴ △MNC是等边三角形 ∴∠NMC+∠MCB=180度 MN∥AB

Answer 3

（1）在△ACE和△DCB中，
∵AC=CD，CE=CB
∠ACE=∠DCB=120°
∴△ACE≌△DCB
∴AE=BD，∠CAE=∠CDB
（2）易证△BCN∽△MEC
∴∠BNC=∠EMC
∴∠DQE=180°-∠MCN=120°
（3）在△AMC和△DNC中
∵∠CAE=∠CDB，∠ACM=∠DCN=60°
AC=DC
∴△AMC≌△DNC
∴MC=NC
∴△MNC是等边△
∴MN∥AB

Answer 4

第一题：略
第二题：∠DQA=∠QAB+∠QBA=∠CDB+∠QBA=∠ACD=60°
第三题：证明△MCE全等于△NCB (ASA) ，则MC=NC,又∵∠MCN=60°，∴△MCN为等边三角形，
∴∠CNM=60°，∴∠CNM=∠BCN,∴MN∥AB
有疑问欢迎追问。

Answer 5

(1)因为三角形ACD,BCE是正三角形
所以AC=CD,BC=CE,角ACD=BCE=60
所以角DCE=60
所以角ACE=角DCB又BC=EC,CD=CA
所以三角形BCD全等于ECA
所以AE=BD