隐函数求微分怎么求?

教育小百科达人
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隐函数的微分方法有两种:

第一种方法:将x、y看成等同地位,谁也不是谁的函数,方程两边微分,解出dy即可。

第二种方法:链式求导,chain rule。将方程两边都对x求导,有y的地方,先当成y的函数,对y求导,然后再将y对x求导。最后解出dy/dx,也就是解出y‘。

说明:隐函数的求导结果,或微分结果,一般都既是x的函数,也是y的函数。

扩展资料:

如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指:在某一变化过程中,两个变量x、y,对于某一范围内的x的每一个值,y都有确定的值和它对应,y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。F(x,y)=0即隐函数是相对于显函数来说的。

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法:

方法①:先把隐函数转化成显函数,再利用显函数求导的方法求导;

方法②:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);

方法③:利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导,再通过移项求得的值;

方法④:把n元隐函数看作(n+1)元函数,通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子,若欲求z = f(x,y)的导数,那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式,然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。

参考资料来源:百度百科——隐函数

Sievers分析仪
2024-10-13 广告
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金坛直溪中学
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楼上的说法并不准确。


隐函数不一定是无法具体写出,它一共有三层意思:

1、无法写出,无法解出来,例如 y + sin(xy) = x,就解不出y跟x的显函数关系(explicit),

     只能在理论上认为解得出,认为理论上有一个函数关系,y=f(x)存在。这个函数是意会

     的,是概念上的,是隐隐约约的,也就是不能明显的写出来的,所以称为隐函数implicit

     function。

2、能解出来,如 y² + 2xy + 1 = 0 ,理论上是能解的,但是由于不是1对1的严格递增或严格

     递减函数,解出来反而麻烦,因为要讨论两个根的情况,而不解出来,却能藏拙,却能避

     免不必要的麻烦。

3、能解出来,也没有出现2的情况,由于我们的链式求导,保证了我们计算的准确性,无需

     解出来。


隐函数的微分方法有两种:

第一种方法:将x、y看成等同地位,谁也不是谁的函数,方程两边微分,解出dy即可。

第二种方法:链式求导,chain rule。

     将方程两边都对x求导,有y的地方,先当成y的函数,对y求导,然后再将y对x求导。

     最后解出dy/dx,也就是解出y‘。


说明:

隐函数的求导结果,或微分结果,一般都既是x的函数,也是y的函数。


举例如下:

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石河子大学团委
2013-06-11
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所谓隐函数即为无法具体写出表达式的一类函数,这类函数在求导时把变量y看成是自变量x的函数即可。
以上述为例:dln(x-y)先对最外层ln()求导为[1/(x-y)]d(x-y),再对(x-y)求导,为1-y'
所以左边为(1-y')/(x-y)

另外还有一种方法是“利用一阶微分的形式不变性”写出一阶导数的表达式,得出一个dy与dx的关系来,再两边同时除以dx那么(dy/dx)即为y' 但是这种方法仅仅限于对一阶微分的处理。
总之建议理清函数关系,像剥洋葱一样一层一层逐层求导。
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