Question

求详解 高一数学

Answer 1

你好！
（1）
(2m+1)x +(m+1)y - 7m - 4 = 0
(2x+y - 7)m +(x+y-4) = 0
令 2x+y - 7 =0 ，x+y-4=0
得 x= 3，y = 1
即直线l恒过定点(3,1)
而 (3-1)^2 + (1 - 2)^2 < 25
即 点(3，1)在圆内
故直线l一定与圆有两个交点
（2）
弦长最小，即圆心(1,2)到直线l的距离最大
d = |2m+1+2(m+1) - 7m-4 | / √[ (2m+1)² + (m+1)² ]
= | -3m - 1 | / √(5m²+6m+2)
d² = (9m²+6m+1) / (5m²+6m+2)
(5d²-9)m²+(6d²-6)m+(2d²-1)=0 ①

判别式 Δ = (6d²-6)²-4(5d²-9)(2d²-1)≥0
d⁴-5d² ≤ 0
d²(d² - 5) ≤ 0
d² ≤ 5
∴ d²max= 5
代入①式解得 m= - 3/4

可得直线l的方程为 2x - y - 5 = 0

Answer 2

1）证：圆(x-1)^2+(y-2)^2=25的半径R=5.圆心为C(1,2)
直线方程(2m+1)x+(m+1)y=7m+4就是(x+y-4)+m(2x+y-7)=0,由于方程组
x+y-4=0,2x+y-7=0的解是x=3,y=1.
所以对于一切实数m，x=3，y=1都是直线方程的解，就是说无论m为何实数m所确定的直线L都经过点A（3，1）
由于(3-1)^2+(1-2)^2=5<25,所以点A到圆心C的距离|AC|<5=R，因而点A（3,1)在圆C内，所以不论m为何值直线L都与圆相交。
2）经过圆C内的定点A的弦中，以经过点A并且垂直于半径CA的弦为最短，由于k（CA）=(1-2)/(3-1)=-1/2，所以k=2
因此最短弦的方程是y-1=2(x-3)--->2x-y-5=0.