Question

极坐标下的二重积分

极坐标下的二重积分ρ的范围怎么确定？上限2cosθ可以通过方程解出来，下限的0怎么确定
另外，ρ应该表示极径，无论θ＝任何值，ρ也≠0，求解

Answer 1

## 极坐标系积分

Q1：上限2cosθ可以通过方程解出来，下限的0怎么确定？

ρ表示极径，极坐标系中ρ≥0是默认条件；正是因为ρ≥0，x^2+y^2≤2x中才可以两边除以ρ解出ρ≤2cosθ。

Q2：ρ应该表示极径，无论θ＝任何值，ρ也≠0，求解

为什么要让θ等于某个值时令ρ等于0？！你理解错了积分的含义，ρ=ρ(θ)给出的是积分区域的边界曲线的表达式，而积分却是在整个积分区域内进行。在积分区域内部，ρ与θ并不满足ρ=ρ(θ)的关系；ρ=0正是在积分区域内部，并不在x^2+y^2=2x表示的边界曲线上，所以也不存在θ让ρ=0的必要。请看下图：

对于第二个问题，完全可以类比直角坐标系情况：