Question

求幂级函数∑（∝ n＝0）n＋1x∧n的收敛区间并在收敛区间内运用逐项求导或逐项求积求其和函数

求幂级函数∑（∝ n＝0）n＋1x∧n的收敛区间并在收敛区间内运用逐项求导或逐项求积求其和函数在线等 急

Answer 1

解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(n+2)/(n+1)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。
又，lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=丨x丨/R<1，∴丨x丨<R=1。
当x=±1时，∑(n+1)x^n均发散。∴其收敛区间为，丨x丨<1。
设S(x)=∑x^(n+1)，两边由S(x)对x求导，有原式=S'(x)= ∑(n+1)x^n。
当|x|<1时，S(x)=x/(1-x)。∴S'(x)=[x/(1-x)]'=1/(1-x)^2。
∴原式=1/(1-x)^2。供参考。