Question

初中数学题，求解答！！！想了一下午不知咋做！！

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=3/5，点O为BC边上的动点，连接OD，以O为圆心，OB为半径的圆O分别交射线BA于点P，交射线OD于点M，交射线BC于N，连接OP。
1、求CD的长【已解决】
2、当OB=AD时，求BP的长【已解决】
3、在点O的运动过程中，当∠MON=1/2∠POB，求圆O的半径【想了一下午，实在不会做啊！！
】

【图1符合该题，图2是其他的图，与本题无关】

Answer 1

3.考察Rt△OCD，∠MON=1/2∠POB，由垂径定理知，1/2∠POB与∠B互余，所以∠ODC=∠B，由cosB=3/5可知CD：OC=3：4，DC=4，设圆O半径为x，则4:(6-x)=3:4，得
x=2/3.

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另：此题因O在BC线段上，∠B不变，所以只有唯一解。

如果还有什么不明白可以追问，如果满意记得采纳。
如果有其他问题请采纳本题后另发点击向我求助，答题不易，请谅解，谢谢。
祝学习进步！

追问

已经懂了，谢谢

Answer 2

解：第3问
连接PN。 由第1问，可知CD＝4，sinB＝4/5，则tanB＝4/3（过程略，如不清楚可追问）
∵ ∠POB＝2∠PNB（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）
∠POB＝2∠MON（已知）
∴ 2∠PNB＝2∠MON
则∠PNB＝∠MON
在△BPN中，BN为圆O直径，P为圆O上一点

∴△BPN为Rt三角形
则∠B＋∠PNB＝90º
∴ ∠B＋∠MON＝90º
分析，在点O的运动过程中，当∠MON=1/2∠POB时，此时∠MON和∠B互为余角
∵ tanB＝4/3
∴tan∠MON＝tan（90°－B﹚＝1／ tanB＝3/4（根据公式tanA*tan(90°－A﹚＝1可知）
在Rt△OCD中，
tan∠MON＝CD／OC，其中CD＝4（已证），tan∠MON＝3/4
∴OC＝CD／ tan∠MON＝4÷3/4＝4×4/3＝16／3
则半径OB＝BC－OC＝6－16／3＝2／3
∴ 在点O的运动过程中，当∠MON=1/2∠POB，此时圆O的半径为2/3

Answer 3

显然，∠MON就是∠COD
过A作AH⊥BC，交BC与H，连PN
由于1/2∠POB=∠PNB（同弧圆心角为圆周角2倍）
∠BPN=90°，
则1/2∠POB=∠PNB=90°-∠B=∠BAH
∠COD=∠BAH
因为∠C=∠BHA=90°，
所以△BAH相∽△DOC（AAA）
OC/AH=DC/BH=4/3
解得OC=16/3
圆O的半径OB=6-OC=2/3或OB=6+OC=34/3