第一个是欧拉旋转定理
在运动学里，欧拉旋转定理(Euler's rotation theorem)表明，在三维空间里，假设一个刚体在做一个位移的时候，刚体内部至少有一点固定不动，则此位移等价于一个绕着包含那固定点的固定轴的旋转。
四元数
欧拉旋转定理
根据欧拉旋转定理，欧拉旋转定理Euler's rotation theorem中任何两个坐标系的相对定向，可以由一组四个数字来设定；其中三个数字是方向余弦，用来设定特征矢量（固定轴）；第四个数字是绕着固定轴旋转的角值。这样四个数字的一组称为四元数。
如上所描述的四元数，并不介入复数。如果四元数被用来描述二个连续的旋转，则必须使用由威廉·哈密顿提出的非交换四元数代数以复数来计算。
数学术语
用数学术语，在三维空间内，任何共原点的两个坐标系之间的关系，是一个绕着包含原点的固定轴的旋转。这也意味着，两个旋转矩阵的乘积还是旋转矩阵。一个不是单位矩阵的旋转矩阵必有一个实值的本征值，而这本征值是 1 。 对应于这本征值的本征矢量就是旋转所环绕的固定轴。
应用
旋转生成元
假设单位矢量(x,y,z)是旋转的瞬时固定轴，绕着这固定轴，旋转微小角值△θ，则取至△θ的一次方。
绕着固定轴做一个 角值的旋转，可以被视为许多绕着同样固定轴的接连不断的微小旋转，每一个小旋转的角值为△θ=θ/N 。让N趋向无穷大，则绕着固定轴θ角值的旋转。
欧拉旋转定理基要地阐明，所有的旋转都能以这形式来表达。乘积Aθ是这个旋转的生成元。用生成元来分析，而不用整个旋转矩阵，通常是较简易的方法。用生成元来分析的学术领域，称为旋转群的李代数。
四元数
根据欧拉旋转定理，任何两个坐标系的相对定向，可以由一组四个数字来设定；其中三个数字是方向余弦，用来设定特征矢量（固定轴）；第四个数字是绕着固定轴旋转的角值。这样四个数字的一组称为四元数。
如上所描述的四元数，并不介入复数。如果四元数被用来描述二个连续的旋转，则必须使用由威廉·哈密顿提出的非交换四元数代数以复数来计算。
在航空学应用方面，通过四元数方法来计算旋转，已经替代了方向余弦方法，这是因为它能减少所需的工作，和它能减小舍入误差。在 电脑图形学 里，四元数与四元数之间，简易执行插值的能力是很有价值的。
证明
设xoy是原来的坐标系，x'oy'是坐标系旋转n（弧度）角后的新坐标系（逆时针旋转时n为正角）。试点m在坐标系xoy中的坐标为(x,y)，在坐标系x'oy'中的坐标为(x',y').
作ms,mp分别垂直于x轴,x'轴，s,p为垂足，连接om,则
x'=om*cos(pom),y'=om*sin(pom)
x=omcos(n+pom)=x'*cos(n)-y'*sin(n)
y=om*sin(n+pom)=x'*sin(n)+y'*cos(n)
这就是用新坐标表示原坐标。
x'=x*cos(n)+y*sin(n)
y'=-x*sin(n)+y*cos(n)
这就是用原坐标表示新坐标。
由旋转公式可得：
一条直线y=kx+b绕原点顺（逆）时针旋转n弧度可看成坐标轴逆时针旋转n(-n)弧度
x'*sin(n)+y'*cos(n)=k[x'*cos(n)-y'*sin(n)]+b经整理得：
y'[cos(n)+k*sin(n)]=x'[k*cos(n)-sin(n)]+b
把直线y=-2x+2绕原点逆时针旋转90度所得的直线的解析式是y=0.5x+1
