Question

二重积分的一个问题

为什么
在二重积分中被积函数是关于x是奇函数，积分区域是关于y轴对称的，那么它的积分是0
如果二重积分中被积函数是关于y是奇函数，且积分区域是关于x轴对称的，那么它的积分是0.

不理解啊……什么是关于y是奇函数……好乱
有没有图像上的解释？

Answer 1

关于x是奇函数，就是把y看成常数，实在理解不了，就把y看成是1，如z=xy，看成z=x，就是奇函数，z=x^2*y，看成z=x^2，就是偶函数，讨论关于x是什么函数，与y无关，讨论关于y是什么函数，与x无关。
关于x是奇函数，把y看成常数，积分区域关于y轴对称时，它的积分你可以按照定积分的方法理解，y=sin x，在﹣π到π上，在x轴上方和下方的面积相等，代数和为0，定积分为0。二重积分同理，z=y*sin x，在﹣π到π上，在空间里z关于原点对称，所以xoy平面上方和下方的体积相等，代数和为0。
被积函数是关于y是奇函数，且积分区域是关于x轴对称的，那么它的积分是0。同理。

Answer 2

f(x,-y) = -f(x,y)
当然有几何解释, 但是能接受到什么程度得看你的空间想象力
f(x,y)关于y是奇函数说明其图像关于平面z=0的镜像与关于平面y=0的镜像重合