Question

已知函数f(x)=x^3-1/2x^2+bx在区间[-2,1]上单调递增，求实数b的取值范围

最好有过程

Answer 1

因为f'(x)=3x^2-x+b
而函数f(x)=x^3-1/2x^2+bx在区间[-2,1]上单调递增
所以f'(x)在x∈[-2,1]上为非负数
即恒有f'(x)>=0
所以b<=-3x^2+x=-3(x-1/6)^2+1/12
而-3(x-1/6)^2+1/12在x∈[-2,1]时，最小值为-14
所以b<=-14

Answer 2

结论：b>=1/12

1. f'(x)=3x^2-x+b

2. f(x)在区间[-2,1]上单调递增的充要条件是

   f'(x)=3x^2-x+b>=0在区间[-2,1]上恒成立

   即 b>=-3x^2+x=-3(x-1/6)^2+1/12 在区间[-2,1]上恒成立

   而 -3(x-1/6)^2+1/12 在区间[-2,1]上的最大值是1/12

3. 所以 b的取值范围是 b>=1/12。

    

   不明白可追问。

   希望对你有点帮助！

Answer 3

学过导函数没
有的话，就简单了
先求导f'(x)=3x^2-x+b
区间[-2,1]上单调递增 那么f'(x)=3x^2-x+b 在[-2,1] 上就必须〉=0
然后在看函数f'(x)=3x^2-x+b，显然是个凹型，有最小值， 对称轴为x=1/6 正好在[-2,1]上，若函数要〉=0
那只有最小值〉=0，也就是说该函数的根数目最多只能有1个
1-4*3*b<=0
b>=1/12
没学过导函数就只能取两-2<=x1<=x2 <=1
然后利用f(x2)〉f(x1)求解了

Answer 4