Question

定积分积分法反常积分

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Answer 1

反常积分“不是”定积分。反常积分的判定主要看“积分区间是否有穷”以及“被积函数是否有界”。后者为瑕积分。反常积分是否可求值，关键看它是否收敛。主要是用定义、的利克雷法、阿贝尔判别法、维尔斯特拉斯判别法等方法来判断。而且含参的反常积分，基本上只能判断一致收敛性。所以有的积分，看上去是定积分，但是未必有值，因为有可能是不收敛的瑕积分，有的存在间断点的函数积分却有值，因为它可以是收敛的瑕积分（间断点和有界性没有直接关系）。但是数一对于函数的“有界性”要求不高，所以很少有学生注意函数的这个性质。实际上，数一考的都是“闭区间上的连续函数”，这种函数一定是有界函数，所以基本不用考虑是否反常积分，无特殊说明绝对是定积分，特别是被积函数是闭区间上的初等函数的，几乎绝对是定积分。