Question

设简单平面图面数r<12,每一个结点度数d>=3,证明至少有一个面的度数小于5

图论证明

Answer 1

设n为顶点个数，m为边数，r为面数
因为最小度数>=3
所以2m=度数和>=3n
因为r<12,且根据欧拉公式n-m+r=2
得到n>m-10
所以推出了m<30
假设不存在，则意味着每个面的次数都大于等于5
那么根据定理： 次数和等于边数的2倍
推出2m=次数和>=5r
连立r<12
得m>=30
所以前后矛盾，假设不成立