Question

下列级数中可断定收敛的是

Answer 1

选D是没问题, 但是不能用Leibniz判别法, 因为a[n]²未必是单调递减的(如B的反例).
A. a[n] = 1/(2n), 由调和级数∑1/n发散, 易知∑a[n]发散.
B. a[2k] = 1/(4k), a[2k+1] = 0, 有∑(-1)^n·a[n] = ∑1/(4k)发散.
C. a[n] = 1/(4n)², ∑√a[n] = ∑1/(2n)发散.
D. 0 ≤ a[n] < 1/n, 故0 ≤ a[n]² < 1/n².
而级数∑1/n²收敛, 根据比较判别法, 正项级数∑a[n]²也收敛.
因此∑(-1)^n·a[n]²绝对收敛, 从而其本身也是收敛的.

Answer 2

D
D中为交错级数
an^2是单调递减的，且其极限为0，所以由莱布尼茨判别法知
其是收敛的！