Question

求微分方程（xy-x）y''+xy'∧2+yy'-2y=0的通解

求微分方程（xy-x）y''+xy'∧2+yy'-2y=0的通解题在图中，最上面那个（2）就是，感谢

Answer 1

你把题目打错了！

Answer 2

（xy-x）y''+xy'²+yy'-2y'=0,y=ln(xy)
(1)y=ln(xy),e^y=xy,x=e^y/y,
如果倒过来，把x看成y的函数，就比较简单了。
y'=dy/dx=1/(dx/dy)=1/x';
y''=dy'/dx=(dy'/dy)/(dx/dy)=[d(1/x')/dy]/x'=（-x''/x'²）/x’=-x''/x'³
代入：
（xy-x）（-x''/x'³）+x（1/x'）²+（y-2）/x'=0
(x-xy)x''+xx'+(y-2)x'²=0
x=C,x'=0,x''=0是一解。通解x=e^y/y+C
如果g是解，我们看看x=Dg是不是解，D常数。
x'=Dg',x''=Dg''
(Dg-Dgy)Dg''+Dg.Dg'+(y-2)D²g'²=
D²[（g-gy）g''+gg'+(y-2)g'²]=0
成立。
因此，方程的通解是：
x=De^y/y+C
(x-C)y=De^y
ln(xy-Cy)=lnD+y
y=ln(xy-Cy)+E
其中C、E是常数。

Answer 3

那是求证y=ln(xy)是微分方程解吧？
隐函数求导y'=(y+xy')/xy
(xy-x)y'=y
继续隐函数求导(y+xy'-1)y'+(xy-x)y''=y'
整理得证